اکسترمال 4

جزوه اکسترمال از سایت المپیاد رشد که ترجمه فصل سوم کتاب استراتژی های حل مسئله است. به همراه اصل کتاب در زیر آمده است:

جزوه اکسترمال المپیاد رشد

کتاب استراتژی های حل مسئه

اکسترمال 3

مثال 5 : رخ هایی روی صفحه شطرنج  قرار دارند. واضح است که  رخ کمترین تعداد رخی می باشد که تمام خانه های شطرنج  را تهدید می نماید. اما درباره  چه می توان گفت که بتوانند خانه های شطرنج   را تهدید کند. 

مثال 6 : در چهاروجهی با سه یال همرس می توان یک مثلث ساخت. 

مثال 7 :   مجموعه نقاطی از صفحه است. هر نقطه وسط دو نقطه دیگر است. ثابت کنید مجموعه ای نامحدود است.   

مثال 8 : هفت کوتوله دور یک میز دایره ای نشسته اند.در برابر هر یک از آنها، فنجانی قرار دارد.در برخی از فنجان ها شیر هست،روی هم 3 لیتر. یکی از کوتوله ها شیرش رابه طور یکسان میان دیگر فنجان ها قسمت می کند.در فرآیندی پاد ساعتگرد،هر یک از کوتوله ها به نوبت همان کار را انجام می دهند. بعد از آن که کوتوله ی هفتم شیرش را قسمت کرد،محتویات آغازین هر فنجان بازگردانده می شود.میزان آغازین شیر را در هر یک از فنجان ها بیابید.

مثال 9 : در یک پنج ضلعی محدب می توان سه قطر انتخاب کرد که اضلاع یک مثلث باشند 

مثال 10 : عدد های طبیعی را از 1 تا 64 روی خانه های یک صفحه شطرنج به ترتیب نوشته ایم.  (از 1 تا 8 را از چپ به راست در سطر اول و به همین ترتیب تا سطر هشتم.) قبل از تعداد از عدد ها علامت بعلاوه و قبل از بعضی علامت منها را طوری نوشته ایم که در هر سطر و هر ستون 2 تا بعلاوه و 4 تا منها وجود دارد. ثابت کنید مجموع عددهای نوشته شده برابر صفر است.

مثال 11 :  ثابت کنید تعداد رشته های باینری n تایی به طوری که هر دوتا حداقل در سه مکان متفاوت باشند حداکثر (1+2ⁿ) / (n) است .

مثال 12 :  سه مدرسه مفروض است که در هر یک از سه مدرسه n دانش آموز وجود دارد . هر دانش آموز جمعن n+1 دوست از دو مدرسه دیگر دارد . ثابت کنید می توانیم یک نفر از هر مدرسه انتخاب کنیم به طوری که این سه نفر دو به دو با هم دوست باشند .

مثال 13 :  9 شکل مسطحه داریم که مساحت هر کدام 1 است. آنها را طوری در صفحه قرار داده ایم که مساحت شکل حاصل 5 شده است.ثابت کنید 2 شکل وجود دارد که اشتراک مساحتشان بزرگتر یا مساوی 1/2 است.

مثال 14 : ماشینی در مسیر دایره ای قرار دارد.مقداری بنزین به طور ناهمگن در مسیر ریخته شده است.(ممکن است در نقطه هایی از مسیر اصلا بنزینی وجود نداشته باشد.)باک ماشین در ابتدا خالی است.ماشین از هر نقطه ای از مسیر عبور کند تمام بنزین آن نقطه را در باک خود جمع می کند.اگر کل بنزین ها را جمع کنیم دقیقا به اندازه ی یک دور ماشین است.ثابت کنید نقطه ای در مسیر وجود دارد که اگر از آن نقطه شروع به حرکت کند می تواند دقیقا 1 دور مسیر را بپیماید.

مثال 15:  ثابت کنید برای اعداد صحیح مثبت معادله زیر جواب ندارد. 

اصل اکسترمال

اصل اکسترمال: هر مجموعه متناهی  یک ماکسیمم و مینیمم دارد .

البته این اصل بسیار ساده به نظر می رسد اما مثل اصل لانه کبوتری کاربرد های بسیاری دارد . معمولا در برهان خلف یکی از ماکسیمم یا مینیمم ها را انتخاب میکنند و ثابت میکنند اگر این طور باشد عددی کمتر از مینیمم یا بزرگتر ازماکسیمم وجود دارد .

 

تمرین 1:

جدولی نامتناهی به ما داده اند که از یک مجموعه متناهی از اعداد پر شده است و هر عدد میانگین 4 عدد مجاورش است ثابت کنید همه اعداد با هم برابر اند .

 

 

تمرین2 :

N  نقطه در یک صفحه واقعند به طوری که هر سه تا از آن نقاط مثلثی با مساحت کمتر مساوی 1 تشکیل میدهند . ثابت کنید همه آنها را میتوان در مثلثی با مساحت 4 جا داد .