اصل اکسترمال 2
۲۸
فروردين
ریاضی دان ورزیده مجهز به یک سری اصول و فنون با دامنه کاربرد وسیع وساده می باشد که می تواند از آنها در حالت های مختلف استفاده نمایید. این اصول و فنون وابسته به موضوعی ویژه نبوده و در کلیه شاخه های ریاضی قابلیت استفاده را دارند. ریاضی دان به این اصول فکر نمی کند بلکه به طور ناخودآگاه از آن مطلع می باشد
به اصل های زیر دقت کنید:
الف.هر زیر مجموعه محدود از اعداد صحیح یا حقیقی دارای یک عنصر مینیمم و یک عنصر ماکسیمم است . (اصل اکسترمال)
ب.هر زیرمجموعه غیر تهی از اعداد صحیح مثبت دارای کوچک ترین عضو است. این را « اصل خوش ترتیبی» می نامند . (حالت کلی تر اصل اکسترمال)
ج.مجموعه نامحدود از اعداد حقیقی ضرورتاً دارای عضو ماکسیمال یا مینیمال نیست. اگر از بالا کران دار باشد، آنگاه دارای کوچک ترین کران بالاست که آن را سوپریمم می نامیم. اگر از پایین کران دار باشد دارای بزرگترین کران پایین است و آن را اینفیمم می نامیم. (کلی تر از اصل خوش ترتیبی)
و هم چنین اگر 
باشد آنگاه 
و اگر 
آنگاه 
.
باشد آنگاه و اگر آنگاه .
در استفاده از اکسترمال سعی می کنیم وجود یک حالت را به اثبات برسانیم. اصل اکسترمال به ما می گوید که با انتخاب این حالت سعی کنید برخی حالت های ماکزیمم و مینیمم آن را بررسی کنید. حالت حاصل نشان دهنده تقریبی وضعیت خواسته شده است هر چند کاملاً با آن منطبق نمی نماید ولی با کمی تغییر روی توابع به حالت اصلی می توان رسید. اگر راه های مختلفی برای بهینه سازی وجود داشته باشد انتخاب یکی از آنها بسته به نظر ما می باشد. اصل اکسترمال بسیار خلاق است و می تواند الگوریتم روش ساختن آن حالت را به ما نشان دهد.
چند مسئله:
مثال ۱ : الف. 
خط حداکثر یک صفحه را به چند بخش تقسیم می کند؟
صفحه در حالت کلی فضا به چند بخش تقسیم می گردد
مثال 2: ادامه بخش ب: فرض کنیم 
نشان دهید در بین 
بخش از فضا حداقل 
چهاروجهی وجود دارد (
).
مثال 3 (مسئله سیلوستر) : مجموعه محدود شامل نقاطی از صفحه‌است که هر خط گذرنده ازدو نقطه از نقطه سومی می‌گذرد. ثابت کنید تمام نقاط روی یک خط واقع می‌باشند.
نشان دهید در بین بخش از فضا حداقل چهاروجهی وجود دارد (). مثال 4 : در کشور اسکانیا هر شهری به شهر دیگر فقط بوسیله یک جاده یک طرفه وصل شده است. ثابت کنید شهری وجود دارد که از هر شهری به آن مستقیم و یا حداکثر به واسطه یک شهر دیگر میتوان رسید.
منبع: انگل، آرتور. استراتژی‌های حل مسئله، چاپ دوم . تهران: مبتکران ، ۱۳۸۴
