اصل اکسترمال
اصل اکسترمال: هر مجموعه متناهی یک ماکسیمم و مینیمم دارد .
البته این اصل بسیار ساده به نظر می رسد اما مثل اصل لانه کبوتری کاربرد های بسیاری دارد . معمولا در برهان خلف یکی از ماکسیمم یا مینیمم ها را انتخاب میکنند و ثابت میکنند اگر این طور باشد عددی کمتر از مینیمم یا بزرگتر ازماکسیمم وجود دارد .
تمرین 1:
جدولی نامتناهی به ما داده اند که از یک مجموعه متناهی از اعداد پر شده است و هر عدد میانگین 4 عدد مجاورش است ثابت کنید همه اعداد با هم برابر اند .
تمرین2 :
N نقطه در یک صفحه واقعند به طوری که هر سه تا از آن نقاط مثلثی با مساحت کمتر مساوی 1 تشکیل میدهند . ثابت کنید همه آنها را میتوان در مثلثی با مساحت 4 جا داد .
حل تمرین 1:
می خواهیم ثابت کنیم مجموعه اعدادی با آن جدول پرشده است تک عضوی است . طبق فرض مساله میدانیم که مجموعه اعداد متناهی است پس طبق اصل اکسترمال یک مینیمم دارد . کوچکترین عدد در جدول را در نظر میگیریم . اگر در اطراف آن اعدادی مخالف آن عدد باشند . چنین داریم ( برهان خلف ) :
عددی از آن بزرگتر است و مجاور آن است . و آن عدد میانگین اعداد مجاورش است . پس باید یک عدد از آن کوچکتر وجود داشته باشد . و این خلاف فرض مساله است .
حل تمرین 2 (از سینا موسوی):
در بین تمام نقاط
سه نقطه 
، 
و 
را در نظر می گیریم که مساحت آن ماکزیمم 
باشد. واضح است که 
. از رئوس مثلث
سه خط به موازات اضلاع مقابل مثلث رسم می کنیم. مثلث 
به دست می آید که مساحت آن 
است . ثابت خواهیم کرد مثلث در بردارنده تمام 
نقطه می باشند. فرض کنیم یک نقطه مثل 
در خارج مثلث واقع باشد پس مثلث و نقطه در یک طرف یکی از سه ضلع مثلث مثلاً 
واقع می باشند. پس مثلث
مساحتی پیش از مثلث خواهد داشت. این یک تناقض دربازه ماکسیمال بودن مساحت مثلث می باشد.
